我記得上大學時，我的數學老師是個個子矮小的廖教授，紡大教授，這麼多年過去了，他給我們講課時那自信滿滿的樣子，我就會不自覺的露出笑容，即便如此，當年教授給我們的知識也很多被遺忘了，知識就是這樣，長期不用了，就會遺忘了，隻有不停的去使用，你才是它的主人，一旦撒手，它就是你的主人，它認識你，你不認識它！
就比如我現在心心念念的去追尋的四維時空轉換問題，其實當初大學老師都教過我們了。隻是那些書都在我原來的房間樓梯間裡發黴了！
現在回想起來，真不能怪我，知識用來方恨少，提筆欲書坎坷多！
下麵我們就來回顧一下四元數的前世今生:
四元數（aternions）是一種擴展了複數係統的數係，由愛爾蘭數學家威廉·羅恩·哈密頓（illiaroanhailton）在1843年提出。四元數可以用來表示三維空間中的旋轉，這在計算機圖形學、機器人學和航空航天工程等領域非常有用。
一個四元數可以寫成以下形式
[qa+bi+cj+dk]
其中，a、b、c、d是實數，而i、j、k是四元數的三個虛部單位。這三個虛部單位滿足以下乘法規則
[i2j2k2ijk1]
[ijk,\adjik]
[jki,\adkji]
[kij,\adikj]
這些規則表明四元數的乘法不滿足交換律，即一般情況下pqeqqp。
四元數的一個重要應用是表示三維空間中的旋轉。特彆是，一個單位四元數可以表示一個旋轉軸和一個旋轉角度。給定一個單位四元數qa+bi+cj+dk，其中a2+b2+c2+d21，它可以用來表示圍繞軸\theta,u的旋轉，其中\theta是旋轉角度，ub,c,d是旋轉軸的方向向量，a\s\theta2。
使用四元數進行旋轉的優勢在於避免了萬向節鎖（giballock）的問題，並且在數值上更加穩定。此外，四元數的插值（如球麵線性插值，slerp）了平滑的旋轉路徑，這在動畫和實時渲染中非常有用。
四元數在現代技術中的應用包括但不限於
計算機圖形學中的三維模型旋轉
航空航天工程中的姿態控製
機器人學中的運動規劃
虛擬現實和增強現實中的頭部追蹤
遊戲開發中的角色和物體的旋轉
四元數的概念雖然相對複雜，但由於其在處理旋轉時的效率和穩定性，它們在需要高效、準確地處理旋轉操作的領域中得到了廣泛的應用。
接下來我們把它擴展到一般的五元數和55的矩陣中按標準矩陣運算法則運算，來找出其規律！
在數學中，五元數（tenions）並不是一個像四元數（aternions）那樣廣為人知且有明確定義的代數結構。四元數是由威廉·羅恩·哈密頓（illiaroanhailton）在1843年提出的，它們構成一個四維的超複數係統，具有特定的乘法規則。然而，對於五元數或其他更高維度的超複數係統，並沒有一個統一的定義或者廣泛接受的乘法規則。
如果我們試圖構造一個五元數係統，我們可以考慮一個形如qa+bi+cj+dk+el的表達式，其中a,b,c,d,e是實數，而i,j,k,l是五個虛部單位。但是，為了使這個係統成為一個代數，我們需要定義這些虛部單位之間的乘法規則，並且這些規則需要保證乘法的封閉性（即任意兩個五元數的乘積仍然是五元數）。
在四元數中，虛部單位i,j,k的乘法規則是精心設計的，以滿足特定的代數性質，例如無零因子（nonzerodivirs）和結合律（asciativity）。然而，當我們嘗試擴展到五元數時，要保持這些性質變得非常困難。實際上，如果要求乘法結合律，那麼這樣的五元數係統是不可能存在的，因為根據弗羅貝尼烏斯定理（frobenitheore），實數域上的有限維可除代數隻有三種實數、複數和四元數。
儘管如此，數學家們仍然對探索更高維度的超複數係統感興趣，這些係統可能具有不同的乘法規則和代數性質。這些探索可能會導致新的數學理論的發展，但截至目前，還沒有一個像四元數那樣具有明確乘法規則和廣泛應用的“標準”五元數係統。