第214章探索外森比克不等式
在經曆了物體縮放知識的深入學習後，學子們的思維愈發敏銳，對於數學的熱情也日益高漲。戴浩文深知，此時正是引領他們探索更廣闊數學天地的絕佳時機。
這一日，戴浩文踏入學堂，手中拿著幾頁寫滿密密麻麻公式的紙張，神情嚴肅而又充滿期待。
戴浩文清了清嗓子，說道“同學們，今日我們將涉足一個全新且頗具挑戰的知識領域——不等式求麵積最值。”
此言一出，學子們的臉上既有好奇，也有一絲擔憂。畢竟，這是一個從未聽聞過的名詞。
戴浩文似乎看穿了大家的心思，微笑著解釋道“莫要緊張，我們一步一步來。首先，讓我們來了解一下這個不等式究竟是什麼。”
他轉身在黑板上寫下了外森比克不等式的表達式三角形三條邊的長度的平方和大於等於四倍根號三乘以三角形的麵積，其中三角形三條邊的長度分彆用字母a、b、c表示，三角形的麵積用字母s表示。
李華皺著眉頭問道“先生，這式子看起來甚是複雜，它有何意義呢？”
戴浩文點了點頭，說道“李華問得好。這個不等式告訴我們，對於一個給定的三角形，其三條邊的長度的平方和與它的麵積之間存在著這樣一種特殊的關係。那它有什麼用呢？比如說，當我們知道了三角形的三條邊的長度，就可以通過這個不等式來估算其麵積的最大值。”
學子們似懂非懂地點了點頭。
戴浩文接著說“接下來，讓我們一起推導這個神奇的不等式。”
他拿起粉筆，開始了詳細的推導過程。
“首先，我們從三角形的麵積公式三角形的麵積等於二分之一乘以兩條邊的長度之積再乘以這兩條邊夾角的正弦值入手。”戴浩文邊寫邊說，“因為正弦值的取值範圍是大於等於負一小於等於一，所以我們有正弦值小於等於一。”
“那麼，三角形的麵積小於等於二分之一乘以兩條邊的長度之積。”
王強舉手問道“先生，那接下來呢？”
戴浩文笑了笑，繼續寫道“接下來，我們運用餘弦定理三角形一條邊長度的平方等於另外兩條邊長度的平方和減去這兩條邊長度之積的二倍再乘以這兩條邊夾角的餘弦值，將其變形為二倍的兩條邊長度之積乘以這兩條邊夾角的餘弦值等於另外兩條邊長度的平方和減去這條邊長度的平方。”
“由於餘弦值的取值範圍是大於等於負一小於等於一，所以二倍的兩條邊長度之積乘以這兩條邊夾角的餘弦值的取值範圍是大於等於負二倍的兩條邊長度之積小於等於二倍的兩條邊長度之積，即三角形一條邊長度的平方減去另外兩條邊長度的平方小於等於二倍的兩條邊長度之積且三角形一條邊長度的平方減去另外兩條邊長度的平方大於等於負二倍的兩條邊長度之積。”
“將其移項得到三角形一條邊長度的平方大於等於另外兩條邊長度的平方減去二倍的兩條邊長度之積且三角形一條邊長度的平方小於等於另外兩條邊長度的平方加上二倍的兩條邊長度之積。”
趙婷眼睛一亮，說道“先生，我好像有點明白了。”
戴浩文鼓勵道“趙婷，那你說說你的想法。”
趙婷站起來說道“先生，是不是可以通過這些式子進一步變形得到我們想要的結果？”
戴浩文讚許地點了點頭“趙婷聰慧。我們對三角形三條邊長度的平方和進行處理。”
“三角形三條邊長度的平方和等於二分之一乘以（第一條邊長度的平方加第二條邊長度的平方）加上（第二條邊長度的平方加第三條邊長度的平方）加上（第三條邊長度的平方加第一條邊長度的平方）。”
“因為（一個數減去另一個數）的平方大於等於零，所以第一條邊長度的平方加第二條邊長度的平方大於等於二倍的第一條邊長度乘以第二條邊長度，同理第二條邊長度的平方加第三條邊長度的平方大於等於二倍的第二條邊長度乘以第三條邊長度，第三條邊長度的平方加第一條邊長度的平方大於等於二倍的第三條邊長度乘以第一條邊長度。”
“所以，三角形三條邊長度的平方和大於等於第一條邊長度乘第二條邊長度加上第二條邊長度乘第三條邊長度加上第三條邊長度乘以第一條邊長度。”
戴浩文頓了頓，看著學子們專注的神情，繼續說道“而第一條邊長度乘以第二條邊長度加上第二條邊長度乘以第三條邊長度加上第三條邊長度乘以第一條邊長度等於根號下（第一條邊長度乘以第二條邊長度）的平方加上根號下（第二條邊長度乘以第三條邊長度）的平方加上根號下（第三條邊長度乘以第一條邊長度）的平方。”
“根據柯西不等式，（根號下（第一條邊長度乘以第二條邊長度）的平方加上根號下（第二條邊長度乘以第三條邊長度）的平方加上根號下（第三條邊長度乘以第一條邊長度）的平方）乘以（根號下（第二條邊長度乘以第三條邊長度）的平方加上根號下（第三條邊長度乘以第一條邊長度）的平方加上根號下（第一條邊長度乘以第二條邊長度）的平方）大於等於（第一條邊長度乘以第二條邊長度加上第二條邊長度乘以第三條邊長度加上第三條邊長度乘以第一條邊長度）的平方。”
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“即（第一條邊長度乘以第二條邊長度加上第二條邊長度乘以第三條邊長度加上第三條邊長度乘以第一條邊長度）的平方大於等於三倍的第一條邊長度乘以第二條邊長度乘以第三條邊長度乘以（第一條邊長度加第二條邊長度加第三條邊長度）。”
“又因為三角形的麵積等於根號下[（三角形周長的一半）乘以（三角形周長的一半減去第一條邊長度）乘以（三角形周長的一半減去第二條邊長度）乘以（三角形周長的一半減去第三條邊長度）]，其中三角形周長的一半等於（第一條邊長度加第二條邊長度加第三條邊長度）除以二。”
“經過一係列複雜的代數運算和變形，我們最終可以得到外森比克不等式三角形三條邊長度的平方和大於等於四倍根號三乘以三角形的麵積。”
此時，學子們已經被這嚴密的推導過程深深吸引，雖然還有些地方不太明白，但他們的眼神中充滿了對知識的渴望。
戴浩文給大家留出了一些時間來消化剛剛的推導過程，然後說道“下麵我們通過幾個具體的例子來看看這個不等式的應用。”