傅立葉很高興，看到了同樣是自己偶像的拉普拉斯如此熱情的找到了自己，並且要主動給自己修改文章。
傅立葉羞澀的說“謝謝你，我寫的亂。”
“沒關係，但我有一個新想法。”拉普拉斯對傅立葉說。
傅立葉說“從我這個方程中得到的嗎？”
拉普拉斯說“當然了。你知道泰勒公式和歐拉方程吧。”
傅立葉說“沒錯。”
“還是用e來表示好，三角函數需要考慮角度的變化，有些麻煩。用你的理論結合泰勒級數和歐拉方程這樣的公式直接套入到傅立葉變換之中。”拉普拉斯說。
傅立葉笑著說“說的有理，但是e不好看，我看不出這裡會有什麼特彆的優勢。”
“直接用自然對數底來表示，看起來也很簡潔明了。最重要的是，很多積分直接的複雜運算，在經過用e的變換之後，都轉化成了簡單的加減乘數運算了。我這種辦法，變得更容易接觸積分方程，隻需要把不同形式的初等函數都表示成拉普拉斯變換的公式記下來就可以了。”拉普拉斯滔滔不絕的說。
傅立葉對拉普拉斯所說的這個變換的神奇性反應了一會兒，高興的說“沒錯，果真如此，這可是個偉大的革命呀。但是這個可是你發現的，這隻能叫拉普拉斯變換了。”
拉普拉斯說“祝我們合作愉快，你說誰的文章該先發表？”
傅立葉笑著說“誰先發表也是一樣的，本來就是相同的東西。”
而幫助傅立葉修改好文章的四年後，也就是在1811年，傅立葉再次提交給科學院自己的論文《熱的解析理論》。在1822年，它使得傅立葉分析的技術被廣泛地利用，這將廣泛應用於數學和整個科學領域。
而這一次大家都接收了他的文章，並且獲得了大獎。但是傅立葉的文章沒有發表。
而之後拉普拉斯用自己敏銳的洞察力，知道了傅立葉級數之後，得到了名垂青史的拉普拉斯變換。
拉普拉斯變換被發明後，有很多人認為他是踩在傅立葉的頭頂上的，但是沒有人敢否認這個偉大的發現。
1906年，貝特曼（batean）將拉普拉斯變換應用於積分方程。
1907年，裡斯（riesz）證明了關於希爾伯特空間上傅立葉分析的“裡斯費舍爾定理”。
1948年，施瓦茨（schartz）出版了《函數、微商、傅裡葉變換概念的推廣及其在數學物理中的應用》（généralisationdenotiondefonction，dedérivation，detransforationdefourieretplicationsathéatiesetphysies），這是他關於廣義函數論的第一篇重要出版物。
1965年，杜奇（tukey）與庫利（oley）發表了一篇論文，介紹了快速傅立葉變換算法。
1978年，費夫曼（fefferan）由於他在偏微分方程、傅立葉分析，特彆是收斂性、乘數算子、發散性、奇異積分與“哈代空間”的工作獲得菲爾茲獎。
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