傅裡葉很驕傲的認為，任何一個周期信號都可以展開成傅裡葉級數。
雖然很多人都認為有爭議，但卻沒有有力論據。
狄利克雷對傅裡葉說“不是所有的周期信號都可以展開成傅裡葉級數。”
傅裡葉說“什麼樣的不可以。”
狄利克雷說“周期裡帶一些古怪的無窮大的，就不可以。”
傅裡葉說“如何的古怪法？”
狄利克雷說“聽說過間斷點吧。”
間斷點有第一類間斷點和第二類間斷點
第一類間斷點的左極限和右極限都是存在的，有可去間斷點和跳躍間斷點。
第二類間斷點指函數的左右極限至少有一個不存在，有無窮間斷點，振蕩間斷點，單側間斷點，狄利克雷函數間斷點。
傅裡葉從沒細細考慮過這個，覺得狄利克雷轉牛角尖說“我知道，可去間斷點難道不可以展開成傅裡葉級數嗎？跳躍間斷點難道不可以展開成傅裡葉級數嗎？”
狄利克雷說“無窮間斷點不可以，單側間斷點不可以。”
狄利克雷話還沒說完，傅裡葉打斷“等等，還有狄利克雷函數間斷點。你這個函數既不連續，有不可導，當然不可以了。”說完二人哈哈大笑。
狄利克雷說“所以，想要讓周期函數能展開成傅裡葉級數，要麼函數連續，要麼隻有幾個第一類間斷點。”
傅裡葉說“是的，我不會去處理第二類間斷點這麼麻煩的東西。”
狄利克雷說“在一周期內，極大值和極小值的數目應是有限個。”
傅裡葉說“你的意思是，如果是無限個最大值和最小值，我的就處理不過來？”
狄利克雷說“還有一個條件是，信號是絕對可積的。”
傅裡葉說“還有不可積的周期函數？”
狄利克雷寫出了不可積函數，sxx求x積分，sx2求x積分等函數。
狄利克雷條件是一個信號存在傅裡葉變換的充分不必要條件。狄利克雷條件括三方麵
（1）在一周期內，連續或隻有有限個第一類間斷點；
（2）在一周期內，極大值和極小值的數目應是有限個；
（3）在一周期內，信號是絕對可積的。
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