是一種用黎曼度量的微分流形。
黎曼流形就是給定了一個光滑的對稱、正定的二階張量場的光滑流形。
給了度量以後，我們就可以像初等幾何學中一樣，測量長度，麵積，體積等量。
流形是一類特殊的連通、豪斯多夫仿緊的拓撲空間，在此空間每一點的鄰近預先建立了坐標係，使得任何兩個局部坐標係間的坐標變換都是連續的。
n維流形的概念在18世紀法國數學家拉格朗日的力學研究中已有萌芽。
19世紀中葉英國數學家凱萊1843、德國數學家格拉斯曼1844，1861、瑞士數學家施勒夫利1852分彆論述了n維歐幾裡得空間理論，把它視為n個實變量的連續統。
1854年德國數學家黎曼在研究微分幾何時用歸納構造法給出一般n維流形的概念n維流形是把無限多個n1維流形按照一維流形方式放在一起而形成的，從此開始流形的拓撲結構及其局部理論的研究。
法國數學家龐加萊在19世紀末把n維流形定義為一種連通的拓撲空間，其中每一點都具有和n維歐氏空間同胚的鄰域被稱為龐加萊流形，從而開辟了組合拓撲學的道路。
對流形的深入研究集中在流形上的微分結構與組合結構的存在性、唯一性問題，微分結構與組合結構的關係，流形的各種意義下的分類等問題，101novel.com世紀50—60年代做出許多重要結果，近幾十年來出現有限維帶邊流形和無限維流形概念。
流形理論在與其他拓撲理論的相互結合發展中也提出許多問題，其研究仍在繼續。
流形上的黎曼度量給定後，我們可以得到一個唯一確定的對稱（即無撓）聯絡，並且它保持黎曼度量。這個聯絡稱為這個黎曼度量的levicivita聯絡。
有了聯絡，我們就可以定義向量場的協變微分和協變導數，從而建立起流形上的微分學。歐氏空間的聯絡就是通常意義上的向量函數的微分。
黎曼度量還誘導出曲率的概念，它反映了流形的彎曲程度。曲率處處為零的流形稱為平坦黎曼流形。歐氏空間就是最常見的平坦流形。
德國數學家高斯最早研究了曲麵上的曲率，發現這種曲率是內蘊的，儘管它的定義式不是內蘊的。
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