魏爾斯特拉斯和波爾查諾發現了維爾斯特拉斯判彆法和波爾查諾維爾斯特拉斯定理。
維爾斯特拉斯對波爾查諾說“我們繼續開始研究級數收斂的問題吧。”
波爾查諾說“有界數列必有收斂子列。”
從極限點的角度來敘述致密性定理，有界數列必有極限點。
維爾斯特拉斯說“隻要有界，必然會有收斂的子列？這個想法有意思。一聽就知道，是為了解決一個問題而提出和發現的東西。”
波爾查諾說“在數列中任意抽取無限多項並保持這些項在原數列中的先後次序，這樣得到的一個數列稱為原數列的子列。”
維爾斯特拉斯說“我知道，你說的有界，是無限的數列，不是因為區有限定義域的那種。直觀來講肯定是對的，隻是為了證明一下而已。數列有沒有收斂，隻需證明母列是有沒有界即可。”
波爾查諾說“沒錯。”
維爾斯特拉斯說“而我發現了一種判彆法。跟你說法不一樣，但是也有相同意思。”
波爾查諾說“請教。”
維爾斯特拉斯說“如果一個數列，在一個定義域內，它的每一項都小於收斂正項級數的每一項，那一定是收斂的。”
波爾查諾說“你這個在直觀上也好理解。證明數列有沒有收斂，隻需要證明是不是小於收斂正項級數的每一項就夠了。”
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