初等函數的積分在何條件下仍為初等函數，也是他著重討論的問題。
劉維爾涉足科學領域之際，由阿阿爾和c．雅可比jabi所建立的橢圓函數理論正處於蓬勃發展時期。
1844年12月，劉維爾在給巴黎科學院的一封信中說明了如何從雅可比的定理單變量單值亞純函數的周期個數不多於2，周期之比為非實數出發，建立雙周期橢圓函數的一套完整理論體係。
兩位德國數學家c．．博爾夏特bor－chardt和f．約赫姆塔爾joachisthal向劉維爾詳細請教了他的工作情況。
c．．博爾夏特對劉維爾說“聽說，你最近在研究橢圓函數理論？”
劉維爾說“肯定的，這是未來的大趨勢。”
c．．博爾夏特說“一個橢圓函數，如何跟二維周期函數成為一回事的呢？”
f．約赫姆塔爾說“我覺得這樣的理論不靠譜。”
c．．博爾夏特說“心裡覺得奇怪，我們雖然經曆了這樣的構造過程，但是還是覺得不可思議。難道數學以後就是要這樣研究的嗎？”
劉維爾說“你們不僅僅要適應，還要把這種連續不斷的變化變成常態才能更好的研究。”
c．．博爾夏特說“等一下，讓我們再縷縷。是橢圓函數在複空間內，有一種圓環的形狀。”
f．約赫姆塔爾說“然後是二維空間中也找到了這樣的結構？”
劉維爾說“是的，這兩者間有關聯，所以當前我要把我所有的精力都耗在二維周期函數上。”
c．．博爾夏特說“你有什麼發現嗎？”
劉維爾像兩個數學家展示了劉維爾四個定理。這是對橢圓函數論的一個較大貢獻。圍繞雙周期性，劉維爾展示了橢圓函數的實質性質，如下
劉維爾第1定理在一個周期平行四邊形內沒有極點的橢圓函數是常數；
劉維爾第2定理橢圓函數在任一周期平行四邊形內的極點處殘數之和為0；
劉維爾第3定理n階橢圓函數在一個周期平行四邊形內取任一值n次；
劉維爾第4定理在一周期平行四邊形內零點之和與極點之和的差等於一個周期。
後來，到巴黎訪問的，而1850—1851年劉維爾在法蘭西學院講授的雙周期函數課程，也在c．a．布裡奧
iot與j．c．布凱bou－et所著《雙周期函數論》théoriedesfonctionsdoublentpériodies，1859一書中得到係統介紹。因此，儘管劉維爾的有關結論很少發表，仍能在法國內外迅速傳播並產生影響，雙周期函數的講義後來發表在1880年第88卷的德國《純粹與應用數學雜誌》上。
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