奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯自打跟克萊因討論的翻轉這個事情以來，自己在很多問題上都想找到各種奇思妙想的翻轉。
其中一個是關於數論中因子分解的翻轉，就是莫比烏斯反演。
莫比烏斯反演是數論數學中很重要的內容，可以用於解決很多組合數學的問題。
莫比烏斯研究如下函數
f1f1
f2f1+f2
f3f1+f3
f4f1+f2+f4
f5f1+f5
f6f1+f2+f3+f6
f7f1+f7
f8f1+f2+f4+f8
反演變化過來時以下情況
f1f1
f2f2f1
f3f3f1
f4f4f2
f5f5f1
f6f6f3f2+f1
f7f7f1
f8f8f4
後來的莫比烏斯函數用在黎曼猜想j（x）公式裡。
μ11
μn0如果n可以被任一素數的平方整除
μn1如果n是奇數個不同素數的乘積
μn1如果n是偶數個不同素數的乘積。
因此知道了jx就可以計算出πx，即素數的分布函數。把這些步驟連接在一起，我們看到，從ζx到jx，再從jx到πx，素數分布的秘密完全定量地蘊涵在了rieannζ函數之中。這就是rieann研究素數分布的基本思路。
莫比烏斯反演用在黎曼猜想上，就充分說明了在黎曼猜想上，有一個更加深刻的反演的東西，這也許是莫比烏斯和克萊因要尋找的那種反演的東西。
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