1875年，亨利·約翰·斯蒂芬·史密斯發現了一個詭異的東西。
是位於一條線段上的一些點的集合，具有許多顯著和深刻的性質。
後來1883年，又有康托爾開始對這個問題感興趣。
史密斯說“對於線上的點，我總覺裡麵有很多玄機，上麵有很多深刻的道理。不能弄過去的數學去衡量。”
康托爾說“我也有同感，而且我還有一個不錯的模型。”
史密斯說“說說看。”
康托爾說“我發現一個三分點集。取一條長度為1的直線段，將它三等分，去掉中間一段，留剩下兩段，再將剩下的兩段再分彆三等分，各去掉中間一段，剩下更短的四段，……，將這樣的操作一直繼續下去，直至無窮，由於在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個離散的點集，記為p。”
史密斯說“這是一個無處稠密的完備集的例子。”
康托爾說“其中有很多有趣的性質。”
史密斯說“聽你說的這個三分集，無窮多個點，所有的點處於非均勻分布狀態。此點集具有自相似性，其局部與整體是相似的，所以是一個分形係統。”
康托爾說“除了有自相似性，還有精細結構。”
史密斯說“是無窮操作或迭代過程。”
康托爾說“他讓傳統幾何學陷入危機。用傳統的幾何學術語難以描述，它既不滿足某些簡單條件如點的軌跡，也不是任何簡單方程的解集。其局部也同樣難於描述。因為每一點附近都有大量被各種不同間隔分開的其它點存在。”
史密斯說“沒錯這是長度為零的。真是一個集簡單與複雜的統一的結構。”
康托爾集很龐大，但它當中幾乎不含有任何“內容物”。
第二種描述康托爾集的方式雖然有些枯燥但會更加精確。我們通常以十進製來書寫數字，但除了這種書寫方法以外我們還可以以三進製來書寫數字，這就意味著我們隻需要數字0、1和2就可以了（十進製書寫的1到10如果以三進製來書寫就會寫成1、2、10、11、12、101novel.com、21、22、100、101）。康托爾集是閉區間從0到1的數字中，那些在三進製中僅用0和2書寫的數字的集合。例如，0是包含於康托爾集中的，至於1可以被寫成0就像099991那樣。
用三進製的方式來思考康托爾集特彆自然地符合康托爾集的構造。將閉區間[0，1]中的所有數字用三進製轉換。當你去掉區間13，23，你就同時在去掉這個集合中三進製小數中第一個小數位為1的點。當你去掉剩下區間的13，你就同時在去掉三進製小數中第二位小數為1的點，以此類推。但我們確實要對端點值小心。早期的時候，我們注意到數字1可以被寫成1或02222類似地13可以被寫成01或者00。任何用三進製書寫的數字如果以1收尾都可以用2的無限循環來代替，康托爾集是三進製中僅用0和2表示的數的集合，但這並不意味著這個集合中的所有數字一定要按照這種方式來書寫，因此我們允許1、13以及諸如此類的數字成為這個集合中的一部分。
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