德國數學家大衛·希爾伯特（davidhilbert，18621943）擴展了弗雷格和羅素的工作，提出了著名的希爾伯特方案，即數學的任何分支都可以被重新表述為一種形式理論，他提出以下3個問題是否存在正解
一個形式理論，其中的公理不能產生矛盾，它的一致性能否在理論本身內得到證明？
形式理論能被證明是完備的嗎，因為它包含了任何真正的數學陳述在它想要體現的特定分支中。
是否存在一個純粹的機械過程，我稱之為通用證明機製，來判定任何給定的數學命題的真假。這個問題在德語中被稱為判定問題（entscheidungsproble）。
哥德爾對於所謂的所有東西都可以被計算這樣的問題詞嗤之以鼻。
對於策梅洛的zf公理，總會有問題存在，不可能對於數學計算是完備的。
“誰也不能證明他們的功力係統，即是完備的，又是可靠的。”
哥德爾認為這可以打敗任何一個自稱可以自圓其說的理論係統。
“對於任意可靠的公理和推理規則係統s，必存在正確的數論結論不能在s中被證明。”哥德爾證明這個震驚世界的理論。
對於聰明的科學家和數學家，就明白自己隻能無限接近真理而無法到達真理。
隻有倔強的愛鑽牛角尖的人才覺得自己可以統一宇宙。
首先這個定理雖然保護“不完備”三個字，但是你千萬彆理解說哥德爾這個人，創造出來的定理是不完備的，恰恰相反，定理本身肯定必須完備，隻不過定理的內容是說“某某東西不完完備而已”。所以了解這點之後我們就要進一步講解這個定理。
所以哥德爾不完備定理，精髓就是自然數係統內“自洽性”和“完備性”不可兼得，隻能放棄一個，保全另一個，有點魚和熊掌不可兼得的意思。
但是事情到了這裡還沒完，因為我們目前數學上麵還有很多猜想未被證明，比如黎曼猜想，哥德巴赫猜想等等，人類奮鬥了這麼多年，還是沒有證明出來。在哥德爾不完備定理出現之前，人類遇到某猜想不能證明，第一反應就是雖然現在不能證明，不代表以後不能證明，未來某時刻，肯定有某位數學家能夠證明。但是當哥德爾不完備定理出現後，這個想法似乎被打破了，這似乎再暗示我們，有一些數學猜想，可能就是因為人們過渡去追求“自洽性”，把“自洽性保全了”，但是“完備性”卻破壞了，所以出現了類似於“黎曼猜想”。這似乎再暗示有一些數學猜想就是既不能被證明，又不能被證偽的，現在是這樣，以後也是這樣，不會有某位數學家能夠改變這一點。
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