aol阿特金和n裡克特於1979年提到孿生素數猜想，即存在無窮多對孿生素數。
即兩個差等於2的一對素數，稱為孿生素數。例如，3和5；5和7；11和13；17和19；29和31；41和43；59和61；71和73；101和103；…和；都是孿生素數。迄今所知的最大孿生素數是x21和x2+1；
陳景潤於1966年得到存在無窮多個素數p，使得p+2是不超過兩個素數之積。
為了證明自己的結果，張益唐使用了一種叫k元組（ktuple）的數學工具來尋找素數。你可以把k元組想象成一把梳子，其中部分梳齒被折斷了。如果你從數軸上任意選定的位置開始，沿數軸放置這樣一把梳子，那麼剩餘梳齒將會指向一組數字。
張益唐的目光集中在一類折斷梳子上，其剩餘梳齒滿足“可容許性”（adissibility）這一整除性質。首先，他證明，任意一把至少有350萬個梳齒的“可容許梳子”會在數軸的無窮多個位置上發現至少兩個素數。接下來，他展示了如何從一把有7000萬個梳齒的梳子出發，通過折斷除素數梳齒以外的其他所有梳齒，來得到一把至少有350萬個梳齒的可容許梳子。張益唐得出結論，這樣一把梳子一定能不斷地找到兩個素數，且找到的兩個素數相差不超過7000萬。
蒙特利爾大學的安德魯·格蘭維爾稱這一發現是“一個了不起的突破”，“（這）是一個具有曆史意義的結果”。
張益唐的工作包括三個單獨的步驟，每一步都為他7000萬的上界了潛在的改進空間。首先，張益唐引用了一些非常深奧的數學過程來確定素數可能隱藏的位置。接下來，他用這個結果計算出他的梳子需要多少梳齒，才能保證它可以無窮多次地找到至少兩個素數。最後，他計算出自己必須從多大的梳子開始，才能在折斷到滿足可容許性之後還能留下足夠的梳齒。
在張益唐的三個步驟中，最先得到改進的是最後一步。在這一步中，他找到了一把至少有350萬個梳齒的可容許梳子。張益唐證明，隻需一把長度為7000萬的梳子，就能得到這樣一把可容許梳子，但他並沒有特彆努力去嘗試縮短這一長度。這其中有很大的改進空間，擅長計算數學的研究人員很快就開始了一場良性競爭，尋找具有給定梳齒數的更小的可容許梳子。
關於張益唐網友評價很高，甚至有人認為是有史以來最偉大的華人數學家。關於孿生素數猜想老張已經給出了終極性的研究方向，就是不斷地縮小這個距離，事實上在陶哲軒的帶領下，一群菲爾茨獎獲得者集體在為老張“打工”，2，3個月內把這個距離從7千萬降到了5414。
後來，陶哲軒看到張益唐的成果，然後自己也雇了個團隊，加班加點把5414繼續降低到246，離2越來越近了，但是沒有繼續往下走。
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