第101novel.com1章二項式定理的奇妙世界
在學子們對導數的應用有了更深入的理解和熟練掌握之後，戴浩文決定開啟新的數學篇章，為他們帶來有趣且實用的知識——二項式定理。
新的一天，陽光透過窗戶灑進講堂，戴浩文精神抖擻地站在講台上，看著充滿期待的學子們，微笑著說道“同學們，今天咱們要一起探索一個新的數學領域——二項式定理。”
他轉身在黑板上寫下了一個簡單的二項式表達式a+b2。
“大家先回想一下，我們之前學過的乘法運算，a+b2展開應該是什麼呢？”戴浩文問道。
學子們紛紛動筆計算，不一會兒，就有聲音回答“是a2+2ab+b2。”
戴浩文點點頭，接著說“那如果是a+b3呢？”
這一下，學子們計算的時間稍微長了一些，但最終還是得出了正確的結果a3+3a2b+3ab2+b3。
戴浩文笑著說“不錯不錯，那大家有沒有發現其中的規律呢？”
學子們陷入了沉思，戴浩文見狀，開始引導他們“我們來看每一項的係數，還有a和b的指數，是不是有一定的特點？”
經過一番思考和討論，有學子舉手發言“先生，係數好像是有一定的排列規律。”
戴浩文讚許地說“對！這就是我們即將要學習的二項式定理的一部分。接下來，我們正式來學習二項式定理的一般形式。”
他在黑板上寫下了二項式定理的公式a+bncn,0an+cn,1an1b+cn,2an2b2+…+cn,ranr
+…+cn,nbn。
看著學子們一臉疑惑的表情，戴浩文解釋道“這裡的cn,r叫做組合數，表示從n個元素中選取r個元素的組合數。”
為了讓學子們更好地理解組合數，戴浩文又花了一些時間講解了組合數的計算方法cn,rn!r!nr!。
“那我們來實際計算一下，a+b4展開式是什麼。”戴浩文說道。
學子們按照剛剛所學的知識，一步一步地計算著。
“首先，n4，那麼第一項的係數c4,0等於1，所以第一項是a4。第二項c4,1等於4，所以是4a3b。大家繼續算下去。”戴浩文在一旁耐心地指導。
經過一番努力，學子們算出了a+b4a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。
戴浩文接著說“那如果我們給定一個具體的數值，比如1+23，大家能快速算出結果嗎？”
學子們紛紛動筆，很快就得出了答案27。
“很好，那我們再來看二項式定理的一些應用。”戴浩文又在黑板上寫下了一道題目“已知x+15，求展開式中x3的係數。”
學子們開始思考，有一位學子站起來說“先生，我們先根據二項式定理展開，找到x3那一項的係數。”
戴浩文鼓勵道“非常好，那你來試試。”
這位學子走上講台，邊寫邊說“c5,310，所以x3的係數是10。”
戴浩文點頭稱讚“完全正確！那我們再來看這道題。”
他寫下“求2x16展開式中的常數項。”
這道題稍微有點難度，學子們紛紛討論起來。
戴浩文提示道“大家想想，常數項是哪一項？”
經過一番思考和討論，有學子回答“當x的次數為0時，就是常數項。”
戴浩文笑著說“對，那我們來找找x的次數為0的那一項。”
最終，學子們算出了常數項為1。
戴浩文接著說“二項式定理在數學中有很多用處，比如可以用來近似計算、證明一些不等式。我們來看這個例子。”
他在黑板上寫下“證明1+xn≥1+nx（當x＞1時，n為正整數）。”
學子們又陷入了思考，戴浩文引導他們用二項式定理展開左邊的式子，然後進行比較和證明。
經過一番努力，學子們成功地完成了證明。
“大家做得很棒！那我們再來看看二項式定理在概率問題中的應用。”戴浩文說道。
他舉例道“假設進行n次獨立重複試驗，每次試驗成功的概率為p，失敗的概率為1p。那麼恰好成功k次的概率可以用二項式定理來表示。”