第217章深入橢圓的世界
幾日之後，戴浩文先生再次踏入講堂。學生們早已整齊端坐，眼中滿是對知識的渴望。
戴浩文清了清嗓子，說道“今日，吾等繼續探究橢圓之奧秘。上次所講，諸位對橢圓已有初步認知，今次著重講解橢圓之焦點與三角形性質。”
李華拱手問道“先生，這橢圓的焦點究竟有何奇妙之處？”
戴浩文微微一笑，道“李華，且聽吾道來。橢圓之焦點，乃橢圓性質之關鍵所在。設橢圓兩焦點分彆為f?、f?，橢圓上任意一點為p，便可得三角形pf?f?。此三角形之中，存有諸多有趣之性質。”
王強急切問道“先生，願聞其詳。”
戴浩文踱步至黑板前，邊畫邊說“其一，三角形pf?f?之周長，恒為定值，其值為2a+2c，其中a為長半軸，c為焦距之半。”
趙婷疑惑道“先生，此定值如何得來？”
戴浩文耐心解釋“趙婷，汝且思之。橢圓上一點p至兩焦點距離之和為2a，而兩焦點間距離為2c，故周長為2a+2c。”
張明思索片刻，道“先生，那此三角形之麵積可有定法計算？”
戴浩文點頭道“張明此問甚妙。三角形pf?f?之麵積，可由公式sb2xtanθ2計算，其中θ為角f?pf?。”
李華撓頭道“先生，這θ又如何得知？”
戴浩文笑曰“李華莫急，θ雖難求，然若已知點p坐標及橢圓方程，通過向量之法，可算得角f?pf?之餘弦值，進而得θ。”
王強又道“先生，若已知三角形麵積，能否反推橢圓之某些參數？”
戴浩文讚許道“王強能作此想，實乃善思。若已知麵積，結合其他條件，或可推知橢圓之某些參數。”
此時，學生們皆陷入沉思，各自在腦中推演。
戴浩文見狀，說道“吾再舉一例，助汝等理解。假設有一橢圓，焦點f?2,0，f?2,0，且三角形pf?f?麵積為3，點p縱坐標為1，試求橢圓方程。”
學生們紛紛提筆計算。
過了片刻，趙婷道“先生，學生算得c2，由麵積可得底邊f?f?長度為4，高為1，故三角形麵積為2，與題中不符，是否有誤？”
戴浩文搖頭道“趙婷，再思之。麵積應為12x4x12，然題中麵積為3，可知另有玄機。”
李華恍然道“先生，莫非與角f?pf?有關？”
戴浩文笑道“李華聰慧，正是如此。汝等當繼續深究。”
戴浩文又道“再論橢圓焦點與準線之關係。橢圓之準線，與焦點緊密相連。準線方程為x±a2c。”
王強問道“先生，此準線有何用途？”
戴浩文回道“王強，準線之於橢圓，猶如規矩之於方圓。橢圓上一點至焦點與至準線之距離，有固定比例，此比例即為離心率e。”
張明道“先生，如此複雜，實難一時領會。”
戴浩文鼓勵道“張明，學問之道，貴乎持之以恒。多加思索，定能通透。”
戴浩文繼續講解“且說這橢圓焦點與三角形性質，若三角形pf?f?為等腰三角形，又當如何？”
學生們再度陷入沉思。
李華率先道“先生，若pf?pf?，是否可推出點p在橢圓短軸？”
戴浩文點頭道“李華所言不差。若pf?f?f?或pf?f?f?，又當如何？”