費馬跟梅森說“我又發現一個有趣的東西？”
梅森習以為常的說“我知道，你一直在發現很多東西。”
費馬說“我發現一個多邊形數。”
梅森說“那先解釋什麼是多邊形數？”
費馬說“一個圓點隻有一個點，所以多邊形數為一。一個三角形數需要在這個點外伸出兩個點，所以為多邊形數為3，如果再往外延伸，需要再加三個點，得到六個點，多邊形數為六。”
一麵說，費馬一麵畫出三角形數的圖形。
梅森說“為什麼是這樣的？你規定了什麼？”
費馬說“這個多邊形為三角形的時候，點與點直接距離相等。”
梅森說“然後為10，再然後為15等等。”
費馬說“正確。”
不一會兒兩個人還是畫出四邊形、五邊形、六邊形的數分彆都是
四邊形數為1、4、9、16、25等
五邊形數為1、5、12、22、35等
六邊形數為1、6、15、28、45等
梅森說“你這樣要做什麼？”
費馬說“每一個正整數都可以表示為最多n個n邊形數的和。每一個正整數一定可以表示為不超過三個的三角形數之和、不超過四個的平方數之和、不超過五個的五邊形數之和，依此類推。”
梅森說“原來你還在研究平方數和的一些規律呀！”
費馬說“沒錯。”
梅森說“你打個比方，我聽聽。”
費馬說“兩個個三角形數的例子，例如1710+6+1，41+3。一個眾所周知的特例，是四平方和定理，它說明每一個正整數都可以表示為最多四個平方數之和，例如74+1+1+1。”
梅森說“你證明了嗎？”
費馬說“證明的事情恐怕要交給後人了。”
拉格朗日在1770年證明了平方數的情況，高斯在1796年證明了三角形數的情況，但直到1813年，柯西才證明了一般的情況。
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