狄利克雷對勒讓德說“我發現了一種在實數範圍內，值域不連續的函數。”
狄利克雷寫出這個狄利克雷函數，勒讓德看到這個函數有兩個項求極限，一個是πx前的階乘k!求極限，一個是k!πx上的2j中的j求極限。k求極限是在餘弦函數之外的。
勒讓德說“這個函數處處不連續，那是不是都畫不出來？”
狄利克雷說“沒錯這個函數圖像畫不出，但是客觀存在，還是個偶函數，值域是從0到1。”
勒讓德說“我看這樣的函數恐怕連周期都沒有？”
狄利克雷說“以任意正有理數為其周期，無最小正周期。”
勒讓德說“我終於知道了，這個函數處處不連續，所以處處不可求導，所以也處處不可以積分，與x所包的麵積大小也是一個謎。”
狄利克雷說“沒錯，以現有的微積分隻是，沒辦法積分。”
勒讓德說“但是目測也可以得到大小。”
狄利克雷說“那隻是知道個大概，沒辦法對此精確計算的。”
後來一個叫勒貝格的人改變了原有的黎曼積分方式，從豎形積分變成橫向積分，解決了這一問題。在單位區間[0，1]上勒貝格可積，且勒貝格積分值為0（且任意區間以及r上甚至任何r的可測子集上（區間不論開閉和是否有限）上的勒貝格積分值為0）
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