二次互反律可以推廣到更高次的情況，如三次互反律等等。
高斯認為在自然數範圍內不能推出高次互反律，需要對數域進行擴張。
高斯找引入了複素數的概念，就是在自然數裡是素數的，在複數裡不簡單是素數，比如5是自然數裡的素數，但是在複數裡是5（1+2i）（12i），所以5是合數。但3不能這樣分解，所以3是複素數。
代數基本定理是每一個整數均可分解為素數的乘積，而且是唯一的，這被歐幾裡得證明。高斯把它推廣到複數域，也是成立的。
高斯最終找到了形如4n+1的素數是複素數的情形，這些素數可以分解為複的因數。
引入了複素數的概念，四次互反律也變得簡潔。
艾森斯坦和雅克比證明了這一點，有優先權之爭。
雅克比和艾森斯坦都發現了三次互反律。
但需要在本原3次根中去考慮的整環。
所以高次互反律需要考慮告次根的整環才行。
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