關於曲線的事兒，貝爾特拉米也沒有少想過。
看過歐拉的《無窮分析》中關於曲線的定義後，他想找到很多生活中好想到的例子。
貝爾特拉米認為既然是研究曲麵，哪怕是負曲率的曲麵，肯定也是特定的一些線連續組合起來的。隻是這樣的線，需要一種可以有普遍性的定義才好。
貝爾特拉米認為，對這種可以組成負曲率的線，需要有一種細致入微的基本性。
貝爾特拉米早就找到了很多曲線，隻需要在凸麵找一個軸線，以這種軸線旋轉，就可以得到負曲率的曲線。
問題在與這樣的曲線需要以什麼樣的東西作為一個標準呢？
在物理上，又會有什麼樣的曲線呢？
他想象製造一種特殊的曲線，是用一個力形成的，讓一個力拉動一個物體，不讓物體的運動方向與力的方向相同即可。
這就是物體受力做曲線運動的基本定義。
而一個力直接拉動一個物體的話，無論如何物體的運動方向都是沿著力的方向的。
如果用一個繩子拉動物體，讓這個力在繩子繃緊的時候跟這個繩子不在一個方向上，那就可以拉出一個曲線運動的樣子了。
跟這個物體運動的曲線，起名為曳物線。
用長度為a的細線牽引一個質點，使細線另一端p沿不過質點的定直線移動，這時質點的運動軌跡定直線是曳物線的漸近線
這個線的形成很簡單，但是卻意義重大，因為以它為基礎可以形成一種偽球麵。
隻要把曳物線沿著一個軸轉動就可以形成偽球麵了。
貝爾特拉米認為，這就是把我曲線本質的一種方式。貝爾特拉米找過其他類型的曲線，但是卻沒有一種真正本質的定義的。
貝爾特拉米在想，讓一個物體移動，是一個力造成的，對於這個力的本質的思索，已經很有必要。
在曲線運動中，最基本的有圓周的弧線運動，有拋物線運動等等，這些都是力的一些性質造成的。一個是方向時刻均勻改變的力，一個是一直不變的力。
如果找到其他類型變化的力，就會產生特殊的曲線，就會產生更加特殊的曳物線，進而產生特殊的偽球麵。
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