阿貝爾因為沒錢，所以文章精煉。因為發表文章跟錢有關。
阿貝爾對雅克比說“假設一個初始速度為零的質點沿著一條光滑的曲線在重力場中下落。該質點在重力場中下落高度為h如果曲線的形狀已知，那麼我們就可以用微積分的方法計算出質點沿著該曲線下降高度h所需的時間th”
雅克比說“這是個很簡單的問題啊，有什麼可研究？”
阿貝爾說“我考慮的是反問題，已知質點下降高度h所需的時間是th，問如何確定這條曲線的形狀？”
雅克比說“知道時間，直接去求曲線形狀，這個有意思，也有挑戰性，需要考慮各種情況呢。”
阿貝爾說“這一般會需要一種積分方程，因為積分方程往往考慮的就是反問題。假如傅立葉展開已知，如何計算原函數。這就需要積分方程去解決。”
雅克比說“積分方程通常會有一個核函數，有很大一類積分方程的問題是，已經知道了一個函數跟核函數的卷積，如何求出這個函數。”
阿貝爾說“如果用現代數學的語言來描述，這就相當於已知一個算子作用在一個函數上的結果，如何求出這個原函數。”
雅克比說“答案就是求出這個核函數或者算子的逆，把這個逆作用在已知的結果上，就得到了那個原函數。這個思路跟線性代數解方程求逆矩陣很像，於是就可以把函數類比做矢量，核函數或者算子類比做矩陣，卷積類比做矩陣與矢量的乘法。這裡隻是一個粗糙的類比。這種類比一旦嚴格化泛函分析就出現了。”
阿貝爾說“例如如何計算一個函數的長度，或者叫範數，如何計算一個算子的逆，如何定義兩個函數的夾角，如何計算函數的投影，如何對函數做正交基展開，如何保證求積分的時候不發散。”
後來兩個人開始計算質點下降高度h所需的時間是th，問如何確定這條曲線的形狀的問題，最後求出是擺線。
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