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馬克笑說“我當然知道你想說的是莫比烏斯帶或者克萊因瓶，他們需要對材料進行一些翻轉或者變形之後，才能組合在一起。”說到此處，馬克在想長條粘貼旋轉一遍時是莫比烏斯帶，旋轉兩遍的時候那是什麼？雖不是莫比烏斯帶那麼，但是也不是正常形狀。但馬克沒敢說這些，因為太魔性了。先收一收搞好學問吧。
erikzeean“沒錯，這確是拓撲特點。明白這些拓撲粘合的靈活性。還有一個，就是複雜形狀的拓撲是由簡單拓撲形狀粘合形成。那就需要問，什麼是簡單的拓撲形狀？也就類似堆積木的積木是什麼樣的？這樣的東西是最簡單的嗎，是不是還可以更簡單。這些簡單的元件拓撲，也是研究對象。”
馬克說“那當然，這是必須的，拓撲元件知道怎麼弄，才能知道拿什麼東西去粘。而元件往往就難免的涉及數學中群的知識了。群就是研究數學對象的各種元件的，拓撲肯定也是需要群分類，群運算也需要了。”馬克才想起剛剛說四則運算是不合適的。
erikzeean“沒錯，弄清一堆元件後，我們就敢粘貼了，而粘貼的時候必須弄好順序，先粘哪個，後粘哪個，這種先後順序就是軌道空間。不同的軌道空間，肯定會粘出不一樣的東西。”
馬克說“沒錯，然後我們就要開始這些工作了。”
erikzeean“走到這一步，想必要讓自己思想升華一下了，其實知道拓撲學的計算本質後，那是不是就跟數學中圖論的東西是相似的，畢竟圖的形狀，裡麵也包含洞這些信息，唯一不同的是，圖論中連接點和傳輸線的權重不一樣。而拓撲學中這些節點和連線都是平等的。”
馬克說“所以一個個等價的拓撲形狀，就成了”
erikzeean“這種等價稱之為同倫。”
馬克說“這是？”
erikzeean“一個形狀，通過連續變化，變成另外一個形狀。不破壞其中洞，或者虧格。”
馬克恍然大悟道“所以開始要構造基本的這些群，使用同論這個方法，可以讓一個很簡單的形狀變成各種各樣的樣子。這些樣子當然都是同一類的。之後我們去計算這種各種各樣的映射了。一個簡單的拓撲元件會出現各種各樣同倫型。但是如何很多同倫型的變換物放在一起，也難以判斷出這是否是一個簡單的元件同倫變換出來的。”
erikzeean“布勞威爾不動點定理可以解決這個麻煩的問題。”
馬克知道布勞威爾不動點，但頭一次聽說要解決這個問題。
erikzeean“隻要是同一形狀的各種不同映射，變化出千變萬化的各種同倫型的拓撲形狀，那他們的布勞威爾不動點一定是相同的。”
馬克興奮說“太好了，很機智。”
“然後大戰拳腳了吧。”
erikzeean說“沒錯，在研究一些複雜平麵的時候，我們可以分而治之，把平麵都分成一個個簡單的形狀，這就是我們研究複雜問題的辦法。”
“然後研究清楚了，最後粘在一起？或者說那種分離開，我們也要知道他們怎麼粘的才對。”
erikzeean說“我們把這些每個分開的東西的邊際研究清就行，這在前麵的連通性中，已經說清了。”
馬克指著一棵樹，上麵有一個扭曲的木頭，馬克說“我們研究這個扭曲的木頭，裡麵的旋就算一個洞。我們對這個空間進行刨分。”
erikzeean說“在這裡刨分完後，要對每一個被分開的東西，進行編號，存在的依據就是其中心，也就是重心出。有幾個重心，就代表分成了幾個形狀，以此方便研究。”
馬克說“然後儘量分成最基本的單元，分到不能再分處。”
erikzeean說“這就是單純逼近。”
馬克說“如何能夠實現這一過程呢？主要是看什麼呢？”
erikzeean說“不看這個扭曲的樹，打個比方，我們挖出來一個鑽石原石，要把他們分成簡單的四麵體一類的形狀，當然不是鑽石那種的。我們儘可能剩下材料，不浪費任何一個區域，儘可能多的去切割。”
馬克說“聽起來很困難啊。”
erikzeean說“需要對原來石頭的棱進行測量和分析，這就是複形的棱道群，再根據此，進行軌道空間的單純刨分。儘量分的要合理，一步步來。當然結果就是得知軌道和對應的元件單形。”
馬克說“確實難，但極具備實用性。”
erikzeean說“切割鑽石是三維空間，而我們要麵對的很多更加複雜的高維複形。”
馬克說“那怎麼辦，聽起來不見得，讓人望而卻步啊！”
erikzeean說“先對其進行分類，其中要得到軌道和單形，所以要把軌道定向工作做好。而分類的過程，要看總體的歐拉示性數，然後把割開和修補進行運算，著都用對應的運算方式。曲麵需要很多符號來表示，方便區分和運算。”
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馬克開竅也快的說“之後要用同調理論，使用一個有方向的軌道，結合每個拓撲的邊緣加上方向，然後對不同複雜形狀，分析其形狀是否可以連續變換得到。本質上是拓撲變成類似圖的一種計算和對比的過程。其中軌道聯係單形會以一串數字來表示這種組成。這裡很多就會涉及到鏈，和很多單形的邊緣。直接把單形邊緣放入軌道中，形成一個鏈子，這個鏈子就是帶著方向和組合方式的長鏈。”
erikzeean說“想想，世間萬事很多都可以用同調論，同調論不僅在微分幾何、複變函數、代數幾何、抽象代數、代數數論、微分方程、對策論等其他許多數學分支中有著廣泛的應用。而且在自然科學和其它工程技術領域的許多學科諸如:電路網絡、理論物理、計算機、電子通訊、現代控製理論乃至原子核構造理論等學科都具有廣泛的應用。已成為現代數學及現代技術領域中不可替代的基礎工具之一，也是非數學類眾多領域的本科生及研究生必修的數學基礎課程。”
馬克說“是的，它可以讓很多問題變得簡單化。”
erikzeean“同調群也需要分類研究，以示方便研究複雜形狀。在此過程中免不了會有單純映射這種簡單的，也有輻式重分的相對複雜的。區分其中複雜形分類的時候”
馬克說“也需要有布勞威爾不動點之類的不變量。”
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