不可積分函數的問題出現多年，但讓此刻的勒貝格陷入沉思。
明明那種函數是有一定麵積的，為什麼非說不可積分，但要去求也無法按照固有模式下手。
若爾當曾提醒“為什麼按照黎曼積分才叫最合理？難道沒有其他形式的積分嗎？”
勒貝格想即使如老師所說，也不能直接突兀的找奇特形式的積分。就算是要找，那也需要對這種新的積分形式有一個好的解釋。
這個解釋就是，什麼是真正的可積分的？
很多模型的問題在於，體積的單元和組成體的東西的方式多不嚴謹，探討和計算之時，出現了很多不可思議的錯誤，這種矛盾上升到哲學層麵，就是人類對點線麵的認識不夠深刻。
如果想要深刻，不能在測量的問題上產生矛盾。
勒貝格第一時間想到了等間距的點陣，數點的個數，總是不會有太大錯。點又個數，沒有體積，不會自我相交。點的個數在某種層麵上，就是代表點陣的準確麵積和體積。
無非就是知道長度之和，求長寬高直接相乘就可以了，如何一個可以測的，就是長度符合可以測量的標準，讓長寬高相乘就可以了。
“是多少個點，就是多少個體積，就是笨辦法來求，也指定不會錯誤。”
點陣在古代就是形數，曾解決畢達哥拉斯定理的證明。
此刻依然可以在看似不可積分的積分問題上能夠發揮作用，發揮嚴謹解釋的作用。
勒貝格笑了“真正的體積和麵積是由連綿不斷的點組成的，哪裡像我所說如此簡單，弄個點陣呢？”
其實，隻要讓一個數學坐標中，符合點陣的一種數學模型存在就行，那種無限的點陣鋪滿坐標的形式，就是環。
環在宏觀上，好解釋，把坐標中單位為1的網格畫出來，就是一個很簡單的整數環。
但是坐標中有大量的小數，那這些無窮小的小數位單位，畫網格就不容易了，那就把單位為1的網格進行類比。之後找到網格環的運算最基本規律，套用在無窮小小數上，隻要這個小數的格符合這個運算，那就是小數的環。即使是無理數，如果符合這個環，那也是環運算。
所以坐標要是一個標準的那種方格為無限小的環，這種環不亂來，很嚴謹，可求積分，也就是可以求出體積。
勒貝格認為“不需要點陣了，點陣直接不想相交的豪斯多夫這種東西，也可以去求體積，可求積分。”
“不僅要消滅點陣，而且點陣有不合理的地方，點陣之間的空隙太大，不好。要變成方塊堆疊才可以，方塊堆疊形成體積，隻需要求出方塊個數，和方塊的體積。方塊堆疊起碼沒有空隙。所以在數學上，除了點陣方塊可以求，還得保證空隙處，也叫補集，也得是可測的才行。”
如果點，不能說體積是大於0的，但是對於方塊體積肯定是大於0的。既然是可以測量，那體積肯定應該大於0才行。
多個方塊的體積肯定大於少個方塊的體積，少個方塊是多個方塊的子集，那麼子集的體積肯定比原集的體積小。
多個方塊合起來，那也是可測的，其中有交集和並集。
如果沒有方塊，那體積為0，就是0測度，這也不是不可測的。
移動方塊的位置，那還是可測的。
若爾當問“你說的那個方塊是正方體的嗎？”
勒貝格笑了笑道“就是長方體的有什麼問題嗎？就是任意六麵體的有什麼問題嗎？”
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